Álgebra e Geometria - LMATE

T - Teórica;   TP - Teórico-prática;   PL - Prática Laboratorial;   S - Seminário;   OT - Orientação Tutorial.    (*) - Variável.

• Objetivos de aprendizagem (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes):

  Após aprovação na unidade curricular, o aluno deverá:

  • Operar com matrizes, determinantes e resolver sistemas de equações lineares;
  • Identificar as estruturas vetoriais e afins;
  • Dominar os conceitos chave do cálculo vetorial (produto interno, externo e misto) e as suas aplicações à geometria analítica;
  • Identificar as transformações geométricas básicas e operar matricialmente com elas;
  • Determinar valores e vetores próprios e diagonalizar uma matriz/transformação linear;
  • Calcular fatorizações de matrizes;
  • Usar ferramentas computacionais na resolução de problemas de álgebra,  geometria e suas aplicações.
• Conteúdos programáticos:
  1. Matrizes: operações com matrizes; aplicação à resolução de sistemas lineares; inversão de matrizes.
  2. Determinantes: definição e propriedades; métodos de cálculo (teorema de Laplace e cálculo abreviado).
  3. Espaços vetoriais: definição e exemplos; combinações lineares, independência linear; subespaços; bases, dimensão e mudança de base.
  4. Cálculo vetorial: produto interno, norma, ângulo; produto externo, produto misto e aplicações ao cálculo de áreas e volumes; método de ortogonalização de Gram-Schmidt.
  5. Espaços afins: definição e exemplos; espaços euclidianos e aplicações do cálculo vetorial à geometria analítica.
  6. Transformações geométricas: transformações lineares e afins, representação matricial; análise das isometrias e semelhanças do plano e do espaço tridimensional.
  7. Fatorizações de matrizes: cálculo de valores e vetores próprios e diagonalização; fatorizações clássicas; aplicação ao estudo de cónicas e quádricas e à decomposição de transformações geométricas.
• Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular:

  Nas áreas das ciências e engenharia os conceitos e ferramentas de álgebra linear e de geometria analítica são amplamente utilizados. Esta unidade curricular pretende dar uma formação básica em álgebra linear (objetivos 1, 2, 4, e 5 cumpridos nos conteúdos programáticos 1, 2, 3, 5, 6 e 7) e geometria analítica (objetivos 3 e 4 cumpridos nos conteúdos programáticos 5, 6 e 7) com especial ênfase na linguagem de teoria de matrizes (objetivos 1, 4, 5 e 6 cumpridos nos conteúdos programáticos 1, 6 e 7) e no uso de ferramentas computacionais (objetivo 7, transversal ao curso).

• Metodologias de ensino (avaliação incluída):

  Ensino teórico-prático, estando previstas cerca de 90 horas de contacto, repartidas entre 67,5 horas de aulas teórico práticas (TP) e 22,5 horas de aulas de prática laboratorial (PL).  O tempo total de trabalho do estudante é de 160h.

  Nas aulas teórico-práticas são apresentados os conceitos teóricos acompanhados de exemplos/exercícios concretos de aplicação. As aulas de prática laboratorial são dedicadas à resolução de exercícios de aplicação direta e à resolução de problemas, individualmente ou em grupo, nos quais é dado especial ênfase a problemas aplicados.

  A avaliação de conhecimentos compreende dois elementos: a média das classificações obtidas em trabalhos a realizar periodicamente nas aulas de prática laboratorial (NP) e uma prova teórico-prático global (NT), a qual pode ser realizada tanto em período de aulas como em período de exame. A nota final do aluno, NF, será obtida através da fórmula:

  NF=0,7NT+0,3NP .

  Para obter aprovação na U.C. o aluno deve obter uma nota mínima de 9,5 valores em NT e NF.

• Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular:

  Nas aulas teórico-práticas são expostos os conteúdos programáticos e são fornecidas listas de exercícios diversificados e com diferentes graus de dificuldade que permitem ao aluno acompanhar todos os tópicos da matéria. A apresentação de aplicações a problemas de engenharia e outros da “vida real” motiva a aprendizagem proporcionando ao aluno uma visão inicial das aplicações da matemática (objetivos de 1 a 6).

  As aulas de prática laboratorial permitem ao aluno consolidar os seus conhecimentos e desenvolver as suas capacidades ao nível da autonomia e da modelação e resolução de problemas (objetivos 1 a 7). A inclusão de problemas que recorram a ferramentas computacionais permite ao aluno familiarizar-se com estas em situações relativamente simples, adequadas à fase inicial do curso (objetivo 7).

  A avaliação é dividida em dois elementos: um teste final teórico-prático (avalia o cumprimento dos objetivos de 1 a 6) e a realização periódica de trabalhos presenciais (avalia o cumprimento dos objetivos de 1 a 7). O recurso a trabalhos para avaliação permite um melhor acompanhamento do desenrolar da matéria e desenvolve as capacidades de análise, reflexão e crítica do aluno.

• Bibliografia principal:

  Santana, A. P., Queiró, J. P., “Introdução à Álgebra Linear”, Gradiva, 2010.

  Anton, H., Rorres, C., “Elementary Linear Algebra: Applications Version”, Wiley, 10th edition, 2010.

  Farin, G., Hansford, D., “Practical Linear Algebra – A Geometry Toolbox”, 3rd edition, CRC Press, 2014.

  Lay, D., “Linear Algebra and its Applications”, Pearson, 4th edition, 2011.

  Poole, D., “Linear Algebra: a modern introduction”, Brooks/Cole, 4th edition, 2014.

  Strang, G., “Linear Algebra and its Applications”, Brooks/Cole, 4th edition, 2005.