Álgebra Linear e Geometria Analítica - LEETC

Os estudantes que terminam com sucesso esta unidade curricular serão capazes de:

1. Efectuar cálculos com matrizes e determinantes;
2. Resolver e discutir sistemas de equações lineares;
3. Reconhecer os conceitos de espaço vectorial e aplicação linear e utilizá-los na resolução de problemas destes domínios;
4. Calcular e interpretar geometricamente o produto interno, externo e misto. Ortogonalizar uma base de um espaço euclidiano ou unitário;
5. Determinar valores e vectores próprios e diagonalizar uma matriz diagonalizável;
6. Aplicar os conceitos abordados nesta unidade curricular na resolução de problemas de geometria analítica;
7. Identificar e utilizar os temas abordados na resolução de problemas de engenharia.

1. Matrizes: operações algébricas; operações elementares; algoritmo de Gauss; característica; resolução de sistemas de equações lineares; matriz inversa.
2. Determinantes: definição; propriedades; teorema de Laplace; regra de Cramer; inversa pela adjunta.
3. Espaços lineares: definição; combinação linear; independência linear; subespaços; subespaço gerado por vectores dados; base e dimensão; coordenadas de um vector em relação a uma base.
4. Espaços euclidianos: definição; norma, ortogonalidade e ângulo entre vectores; complementos ortogonal; bases ortonormadas; método de ortogonalização de Gram-Schmidt; produto externo; produto misto.
5. Aplicações lineares: definição; propriedades; núcleo, imagem; matriz de uma aplicação linear em relação a duas bases; Álgebras de funções lineares.
6. Valores e vectores próprios de um endomorfismo: definição; polinómio característico; espectro; subespaço próprio; multiplicidade algébrica e geométrica de um valor próprio; diagonalização.

Os conteúdos programáticos são coerentes com os objectivos da unidade curricular, atendendo a que:

• Os pontos 1 e 2 dos conteúdos programáticos pretendem concretizar os pontos 1 e 2 dos objectivos;
• Os pontos 3 e 5 dos conteúdos programáticos pretendem concretizar o ponto 3 dos objectivos;
• O ponto 4 dos conteúdos programáticos pretende concretizar o ponto 4 dos objectivos;
• O ponto 6 dos conteúdos programáticos pretende concretizar o ponto 5 dos objectivos;
• Os objectivos referidos nos pontos 6 e 7 são concretizados ao longo de todos os pontos dos conteúdos programáticos.

Ensino teórico-prático, estando previstas 45 aulas de 1h30m durante o semestre. A matéria é exposta em termos teóricos, sendo exibidos exemplos de aplicação. O aluno consolida os conhecimentos adquiridos através da resolução de exercícios fornecidos pelo docente. Além dos cadernos de exercícios, são disponibilizados textos teóricos de apoio.
A avaliação contínua consta de 2 testes com a duração de 1h30m cada. Condição de aprovação: obtenção de nota igual ou superior a 8.0 em cada um e uma soma igual ou superior a 19.0. A nota final igual à média dos dois testes. Na data do exame de época normal, além do exame, é permitido a um aluno realizar a repetição de um dos testes, com a duração de 1h30m, desde que satisfaça a seguinte condição: poderá repetir o 1º (respectivamente, o 2º) teste um aluno que tenha obtido um mínimo de 8.0 no 2º (respectivamente, 1º) teste e que não tenha sido aprovado. A avaliação por exame, com a duração de 2h30m, obriga à obtenção de nota igual ou superior a 10.

As metodologias de ensino são coerentes com os objectivos da unidade curricular uma vez que, à exposição teórica e formal dos conceitos, se associa a sua concretização em contexto real. A exemplificação com problemas no âmbito da engenharia permite aos alunos perceber onde e como aplicar os conhecimentos adquiridos em situações da sua vida profissional. As listas de exercícios disponibilizadas, pela sua organização, conteúdo e diversidade, possibilitam ao aluno acompanhar convenientemente todos os tópicos da matéria e são um valioso instrumento de estudo individual.

1. David Lay, Linear Algebra and its Applications, 3rd edition, Addison Wesley, 2006.
2. Isabel Matos, Tópicos de Álgebra Linear, no site do ISEL.
3. António Monteiro, Álgebra Linear, Verlag Dashöfer, Lisboa, 2011.
4. António Monteiro, Geometria Analítica, Verlag Dashöfer, Lisboa, 2011.
5. António Monteiro, Matrizes, Verlag Dashöfer, Lisboa, 2011.
6. Carlos Ribeiro, Álgebra Linear (teoria), no site do ISEL.
7. Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, 3rd edition, Academic Press, 1988.