Análise - LMATE

T - Teórica;   TP - Teórico-prática;   PL - Prática Laboratorial;   S - Seminário;   OT - Orientação Tutorial.    (*) - Variável.

• Objetivos de aprendizagem (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes):
  1. Manipular propriedades de funções elementares.
  2. Compreender os conceitos de cálculo diferencial necessários para o estudo de funções; relacionar derivada com aproximação afim e velocidade.
  3. Compreender a construção do pol. de Taylor como fundamental para aproximar funções com características localizadas num ponto e saber generalizar a noção de aproximação polinomial noutros contextos.
  4. Interpretar séries de potências como limite de pols. de Taylor, usar critérios de convergência e conhecer os principais desenvolv. notáveis.
  5. Usar métodos de primitivação como ferramenta básica para o cálculo integral. Associar o valor de integral de uma função com a sua média e conhecer aplicações fundamentais. Manipular integrais indefinidos e impróprios.
  6. Resolver eqs. diferenciais de variáveis separadas e  lineares de 1ª ordem, como casos particulares de integração direta.
  7. Compreender modelos de aplicações de eqs. diferenciais, e interpretar resultados no contexto em que se inserem.  
• Conteúdos programáticos:
  1. Funções: Propriedades fundamentais de funções reais de variável real. Noções topológicas, limite e continuidade.
  2. Diferenciabilidade: Teorema de Lagrange. Monotonia e extremos em intervalos limitados e não limitados. Indeterminações e regra de Cauchy. Fórmula de Taylor. Série de Taylor, séries de potências e séries numéricas. Critérios de convergência e de comparação para séries numéricas, intervalos de conv. e desenvolvimentos notáveis.
  3. Cálculo integral: Integral de Darboux. Teorema da média. Integral indefinido. Teorema fund. do cálc. integral. Regra de Barrow. Primitivas imediatas e por decomposição de frações racionais. Aproximação polinomial por interpolação e integração nos casos de grau 2 e 3. Integração por partes e substituição. Integrais impróprios.
  4. Equações diferenciais. ordinárias: Problemas de valores iniciais de 1ª ordem; existência e unicidade. Eqs. difs. de variáveis separáveis e lineares de 1ª ordem. Tradução de modelos e resolução de problemas de aplicação.
• Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular:

  O objetivo 1 é atingido com o estudo do primeiro capítulo dos conteúdos programáticos, onde alguns dos conhecimentos que os alunos trazem da formação de base são sistematizados e reorganizados.

  Os objetivos 2, 3 e 4 são trabalhados no segundo capítulo, onde se procura dar ao aluno a capacidade de extrair informação vital do comportamento de funções em termos de variação e possibilitar a previsão de comportamentos quando a informação disponível não é total.

  O objetivo 5, de cariz mais técnico, é trabalhado no terceiro capítulo.

  No quarto capítulo, aplicam-se os conhecimentos adquiridos no terceiro capítulo através da resolução de alguns tipos de equações diferenciais, que tanto permitem trabalhar  o sexto como o sétimo objetivos da unidade curricular.

• Metodologias de ensino (avaliação incluída):

  Ensino teórico prático, estando previstas cerca de 90h de contacto. O tempo total de trabalho do estudante é de 160h.

  Aulas teórico-práticas para apresentação e fundamentação da teoria, a par de exemplos de aplicação e resolução exercícios. Pontualmente, aulas dedicadas à resolução de exercícios de aplicação direta e ao estudo de problemas.

  Trabalhos práticos a serem resolvidos individualmente ou em grupo, em aula ou extra aula, nos quais é dado especial ênfase a problemas aplicados.

  Estudo individual complementado com a bibliografia e a resolução dos exercícios e problemas indicados.

  A avaliação de conhecimentos compreende dois elementos: a média das classificações obtidas nos trabalhos práticos (NP) e uma prova teórico-prática global (NT), a qual pode ser realizada em período de aulas ou de exame. A nota final do aluno (NF) é dada por:

  NF=0,75NT+0,25NP .

  Para obter aprovação na unidade curricular o aluno deve obter uma nota mínima de 8 valores em NT e de 9,5 valores em NF.

• Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da unidade curricular:

  As aulas do tipo teórico-práticas justificam-se para uma rigorosa e completa cobertura dos tópicos do programa, os quais surgem como resposta a situações e problemas práticos para maior motivação do aluno e melhor compreensão dos conceitos e resultados. A resolução de exercícios em contexto de aula permite ilustrar a aplicação prática dos conceitos e ferramentas estudadas, ao mesmo tempo que se aprofundam os conhecimentos teóricos.

  As listas de exercícios disponibilizadas, pela sua organização, conteúdo e diversidade do grau de dificuldade, permitem ao aluno acompanhar todos os tópicos da matéria e são o principal instrumento do estudo individual. Os exercícios que as constituem são os adequados ao desenvolvimento das capacidades de cálculo e raciocínio dedutivo.

  Os trabalhos práticos vão de encontro à necessidade de incentivar o aluno a acompanhar o desenrolar da matéria e a avaliar o sucesso da sua aprendizagem. O tipo de problemas, aplicado e menos direto, induzem o aluno a questionar e aprofundar os seus conhecimentos, ao mesmo tempo que lhe incute maior capacidade de trabalho e independência e o leva a desenvolver das suas capacidades de análise, reflexão e crítica.

  Com o recurso sistemático a problemas aplicados e contextualizados, estudados com o auxílio de software matemático, pretende-se um maior motivação, eficácia e espetro da aprendizagem, pois possibilitam: transmitir o facto de o cálculo diferencial e integral em IR ser uma ferramenta indispensável à resolução de problemas em muitas áreas; praticar a formulação matemática de problemas, sua resolução e crítica; permitir uma experiência computacional direta na formalização e resolução de problemas; facilitar aos alunos o reconhecimento dos conceitos e técnicas estudados quando a estes têm que recorrer no seguimento dos seus estudos.

  Além disso, a dinâmica de grupo, na componente de debate e entreajuda, potencia a obtenção de melhores resultados do que aqueles que, por si só, o estudo individual consegue. Pontualmente, são realizados controlos aos trabalhos entregues de modo a incentivar as suas corretas resoluções.

• Bibliografia principal:

  1. Hughes-Hallet, D., et al., “Calculus: Single Variable”, John Wiley & Sons (Reference book), 2008.

  2. Jordan, D., Smith, P., “Mathematical Techniques”, Oxford University Press, 1994.

  3. Marsden, J, Weinstein, A., “Calculus I”, Springer, 1985.

  4. Kent, P, Ramsden, P, Wood, J., “Experiments in Undergraduate Mathematics – A Mathematica-Based Approach”, Imperial College Press, 1996.

  5. Bluman, J., “Problem Book for First Year Calculus”, Springer, 1984.

  6. Keisler, H., “Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach”, available online at: http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html, 2012.

  7. Sarrico, C.,  “Análise Matemática”, Gradiva, 2000.l