Seminário de Física 

Título: Como pavimentar um plano com dois tipos de ladrilho, e outras histórias

Orador: Paulo Teixeira* (DF/ISEL e CFTC da FCUL)

Abstract:

A pavimentação por hexágonos regulares idênticos - a rede em favo de mel - é a divisão de um plano em regiões (“ladrilhos”) todas iguais que minimiza o perímetro total das fronteiras entre estas. Muito menos se sabe acerca de pavimentações de perímetro mínimo se os ladrilhos não forem todos iguais, ou não cobrirem a totalidade do plano, como inevitavelmente sucede em realizações físicas destes objectos matemáticos. Neste seminário, passo em revista o nosso trabalho em quatro problemas: (I) Qual é a pavimentação periódica de perímetro mínimo do plano utilizando dois tipos de ladrilhos? (ii) Qual é a pavimentação periódica de perímetro mínimo de um domínio finito do plano utilizando dois tipos de ladrilhos? E, neste caso, os ladrilhos ficam misturados, ou separam-se por tamanhos? (iii) Quais são as cadeias periódicas de polígonos (possivelmente com lados curvos) com perímetro mínimo no plano? (iv) Como se relacionam (I)-(iii) com resultados para outros sistemas, como sejam discos rígidos ou colóides moles? 
A nossa estratégia consistiu em desenhar todas as estruturas candidatas de que conseguimos lembrar-nos, calcular os seus perímetros e minimizá-los. Em alguns casos pudemos fazê-lo analiticamente, noutros apenas numericamente. Não há qualquer garantia de que não nos tenhamos esquecido de algumas. Também não fizemos demonstrações absolutamente nenhumas. Os nossos resultados estão, portanto, ao nível da conjectura.

*Em colaboração com M. A. Fortes (IST, Universidade de Lisboa) e F. Graner (Institut Curie, Paris, França).